DE102024118136B3

DE102024118136B3 - Verfahren und Vorrichtung zur Zeitbereichsspektroskopie mit reduzierter Stützstellenerfassung

Info

Publication number: DE102024118136B3
Application number: DE102024118136.2A
Authority: DE
Inventors: Michael Gensch; Nikola Stojanovic; Peter Jung; Yoo Kyung Ha; Jonas Woeste
Original assignee: Deutsches Zentrum fuer Luft und Raumfahrt eV
Current assignee: Deutsches Zentrum fuer Luft und Raumfahrt eV
Priority date: 2024-06-26
Filing date: 2024-06-26
Publication date: 2025-12-31
Anticipated expiration: 2044-06-27

Abstract

Die Erfindung betrifft ein Verfahren und eine Vorrichtung zur Zeitbereichsspektroskopie mit einer gegenüber den WKS-Abtasttheorem reduzierten Stützstellen. Ziel ist es eine Approximation eines Zeitsignals mittels einer begrenzten Anzahl von periodischen und/oder periodischen gedämpften Grundsignale zu ermöglichen. Insbesondere betrifft die Erfindung eine Wahl der geeigneten Stützstellen für die Vermessung eines Zeitsignals sowie die Vermessung selbst, um das Zeitsignal anhand der begrenzten Anzahl von Grundsignalen approximieren zu können. Die Stützstellen werden gemäß eines deterministischen Verfahrens bestimmt.

Description

Die Erfindung betrifft ein Verfahren und eine Vorrichtung zur Approximation eines Zeitsignals mittels einer begrenzten Anzahl von periodischen und/oder periodischen gedämpften Grundsignalen. Insbesondere betrifft die Erfindung eine Wahl der geeigneten Stützstellen für die Vermessung eines Zeitsignals sowie die Vermessung selbst, um das Zeitsignal anhand der begrenzten Anzahl von Grundsignalen approximieren zu können.
Die Zeitbereichsspektroskopie ist eine Spektroskopie-Methode, die auf eine Vermessung einer zeitlichen Änderung oder eines zeitlichen Verlaufs einer Signalgröße beruht. Ein Frequenz-, Wellenlängen- oder Energiespektrum kann aus diesem Zeitbereichssignal durch eine geeignete Fouriertransformation des abgetasteten Signalverlaufs erhalten werden. Die Entwicklung und Verfügbarkeit von Kurzpulslasern haben es möglich gemacht mittels der Zeitbereichsmessung von optischen Materialeigenschaften oder von elektrischen Lichtfeldern mit Resonanzen oder Eigenfrequenzen im Terahertzspektralbereich mittels sogenannten optischen Gatings zu bestimmen. Hierfür wird ein Signalverlauf nach einem Anregelaserpuls mittels eines zweiten Abfragelaserpulses abgetastet. Bei diesem etablierten Verfahren bestimmen eine Laserpulsdauer und ein Abtastintervall einen nutzbaren Spektralbereich, eine Länge des abgetasteten Zeitbereichs entscheidet über eine erreichbare spektrale Auflösung. Um einen gegebenen Spektralbereich mit einer bestimmten Auflösung zu vermessen, wird der Zeitbereich in, typischerweise äquidistanten, diskreten Schritten vermessen, gleichbedeutend mit einer resultierenden minimal erforderlichen Anzahl von Messpunkten oder Stützstellen. Diese Anzahl von benötigten Messpunkten oder Stützstellen ist durch das WKS-Abtasttheorem (für Whittaker, Kotelnikow und Shannon) festgelegt, das auch als Nyquist-Shannon-Abtasttheorem bekannt ist.
Der derzeitige Stand der Technik erfordert eine erhebliche Anzahl von äquidistanten Messpunkten um eine beliebige spektrale Funktion aus den Zeitbereichsmessungen exakt zu bestimmen (WKS-Abtasttheorem), was zu folgenden Nachteilen führt:

(i) langen Messzeiten,
(ii) komplexen Versuchsaufbauten,
(iii) großen Baugrößen für Spektrometer und Messapparaturen und
(iv) hohen zu verarbeitenden Datenvolumina.

Eine Chipintegration der Funktionalität der Abtastung des Zeitbereichs ist durch die hohe Anzahl von erforderlichen Messpunkten technologisch aufwendig und daher mit hohen Kosten verbunden.
K. Scheffter et al. beschreiben in „Compressed Sensing of Field-resolved Molecular Fingerprints Beyond the Nyquist Frequency", arXiv:2307.11692v2 [physics.optics], 4. April 2024, Ultrakurzzeitspektroskopie und feldaufgelöste Spektroskopie von Molekülfingerabdrücken, die als Goldstandards für den Nachweis von Probenbestandteilen und interner Dynamik gelten. Diese werden jedoch durch das Nyquist-Kriterium behindert, was zu langen Datenerfassungs- und Verarbeitungszeiten und großen Datenmengen führt. Scheffter et al. präsentieren experimentelle Ergebnisse einer Anwendung von sogenanntem Compressed Sensing auf feldaufgelöstes molekulares Fingerprinting durch zufälliges Scannen. Primäre Absorptionsspitzen von atmosphärischem Wasserdampf als Reaktion auf Terahertz-Lichttransienten wurden bestimmt, während die Abtastung jenseits der Nyquist-Grenze erfolgt. Durch drastische Unterabtastung des elektrischen Feldes der molekularen Antwort bei einer Nyquist-Frequenz von 0,8 THz konnten Wasserabsorptionsspitzen bis zu 2,5 THz mit einem mittleren quadratischen Fehler von 12×10^-4 identifiziert werden.
Das von Scheffter et al., beschriebene Compressed-Sensing-Verfahren behebt dieses Problem nicht, da es zwar auch eine Reduktion der erforderlichen Messpunkte erreicht, aber dafür nun eine zufällige Reihenfolge von Messpunkten und daher eine hochkomplexe, variable Abtastung erfordert, die für die Chipintegration ebenfalls sehr nachteilig ist.
Ferner führen zufällige Abtastungen nicht in jedem Fall zu einer korrekten Messung.
Ein Einführungs- und Übersichtsartikel „an introduction to compressive sampling" von Emmanuel J. Candés und Michael B. Wakin ist in IEEE singal processing magazine, Vol. 25, 2008 Nr. 2, Seiten 21-30 - ISSN 1053-5888 erschienen.
Für viele zu vermessende Signale von physikalischen Systemen gilt, dass das zu vermessende Signal sich als Linearkombination von einer endlichen Anzahl von periodischen und/oder gedämpften periodischen Grundsignalen darstellen lässt.
Die Abtastung selbst lässt sich mathematisch dann mittels folgender Gleichung beschreiben $y = Ax + e$ wobei y der M-dimensionale Vektor der Abtastwerte ist, x der N-dimensionale Vektor von möglichen Frequenzen (entsprechend dem WKS Theorem) und der M-dimensionale Vektor e eine additive Störung (zum Beispiel Rauschen) enthält. Die MxN-dimensionale Matrix A ergibt sich durch die explizite Wahl der M Stützstellen und der Annahme von N möglichen Grundsignalen (zum Beispiel über das WKS Theorem). Für die Signalmessung später bedeutet das, dass A bekannt ist, y wird gemessen und x und e sind unbekannt und werden bei der Signalrekonstruktion bestimmt, wobei eine Schätzung für die Störung e zwangläufig bei der Ermittlung des eigentlich interessierenden Vektors x anfällt.
Der Erfindung liegt die Aufgabe zugrunde, ein Verfahren und eine Vorrichtung zur Zeitbereichsspektroskopie mit reduzierter Stützstellenerfassung sowie ein Verfahren zur Herstellung einer solchen Vorrichtung zu schaffen. Insbesondere liegt eine Aufgabe in einer Auswahl der Stützstellen, so dass anhand der Messwerte an den Stützstellen eine Mehrzahl S nicht überschreitende Anzahl K und deren Wichtungen aus einer Grundgesamtheit N von Grundsignalen ermittelbar ist, deren gewichtete Linearkombination das abgetastete Messsignal approximiert.
Grundidee der Erfindung
Zwar ist es grundsätzlich möglich für eine beliebige Auswahl von Stützstellen M aus einer Grundgesamtheit N von zeitlich äquidistanten Stützstellen, die für eine vollständige Informationserfassung eines beliebigen Signals nach dem WKS-Abtasttheorem notwendig wären, wobei M <= N ist, was zu einer Messmatrix A der Dimension MxN führt, numerisch sehr aufwendig, aber formal möglich, zu bestimmen, ob diese Matrix eine erfolgreiche Rekonstruktion des gemessenen Signals als eine Linearkombination von bis zu S möglichen Grundsignalen ermöglicht. Eine Möglichkeit besteht darin einen Wert einer sogenannten „Restricted Isometry Property“-Konstante δ_2S, (RIP-constant) der Ordnung 2S zu bestimmen. Die „Restricted Isometry Property“-Konstante δ_2S, (RIP-constant) der Ordnung 2S ist definiert als das Minimum der kleinsten von Null verschiedenen Singulärwerte aller Mx2S Untermatrizen von A. Falls $δ_{2 S} < \frac{1}{\sqrt{2}},$ dann ist die Rekonstruktion erfolgreich.
Um diesen Aufwand zu vermeiden wird vorgeschlagen, ein deterministisches Verfahren für die Auswahl der Stützstellen zu wählen, für das von vornherein sichergestellt ist, dass die Auswahl der Stützstellen zu einer den Messprozess beschreibenden Matrix führt, so dass das Signal zuverlässig anhand maximal S Grundsignalen als Linearkombination rekonstruiert werden kann. Dieser Ansatz wird hier als dCSTD - engl. deterministic Compressed Sensing in the Time-Domain bezeichnet.
Ziel der Erfindung ist es Resonanzen/Eigenfrequenzen anhand von Signalen zu ermitteln, die ihren Ursprung in physikalischen Systemen haben. Zu diesem Zweck wird ein etabliertes, korrektes, physikalisches Modell für die Beschreibung des Resonanzspektrums in Materialien angesetzt. Dabei kann jede Resonanz auf ein harmonisches Oszillatormodell mit einer spezifischen Eigenfrequenz zurückgeführt werden, womit sich ergibt, dass das Signal einer Resonanz im Zeitbereich (z.B. gemessen als zeitliche Änderung der Transmission oder Reflexion) mit einer potentiell gedämpften Sinus- oder Cosinusfunktion beschrieben werden kann. Die Erfindung beruht auf der physikalisch begründeten Annahme, dass ein Zeitbereichsspektrum von maximal K Resonanzen sich aus einer Linearkombination der Cosinus- oder Sinusfunktion mit korrespondierenden maximal K Eigenfrequenzen oder periodischen, gegebenenfalls gedämpften Grundsignalen ergibt.
Eine Kenntnis der genauen Anzahl der möglichen Eigenfrequenzen im wirklichen Signal ist nicht notwendig. Die Kenntnis der oberen Schranke S für die Anzahl K ist hilfreich. Die auftretenden Eigenfrequenzen selbst müssen hierbei nicht bekannt sein und eine Rauschcharakteristik des Detektors muss ebenfalls nicht bekannt sein. Die Menge der möglichen Signale (Cosinus- oder Sinussignale und gegebenenfalls mögliche Dämpfungen), d.h. der möglichen Eigenfrequenzen oder Resonanzen, welche linearkombiniert werden könnten, werden aber als bekannt vorausgesetzt und im Folgenden als „Grundsignale“ bezeichnet.
Das Verfahren zur Zeitbereichsspektroskopie mit reduzierter Stützstellenerfassung umfasst die folgenden Schritte:

a) Erfassen einer Anzahl N möglicher Grundsignale, anhand derer ein zu vermessendes Zeitsignal als Linearkombination rekonstruiert werden soll;
b) Erfassen einer maximalen Komponentenanzahl S_max, die eine maximale Anzahl der für eine Rekonstruktion in der Linearkombination kombinierbaren Grundsignale festlegt;
c1) Erfassen eines deterministischen Stützstellenermittlungsmodells, anhand dessen sich deterministisch eine Anzahl von Stützstellen aus einer Grundmenge von Stützstellen, deren Mächtigkeit vorzugsweise größer oder gleich N ist, ermitteln lässt, und
c2) Erfassen eines Ermittlungskriteriums, anhand dessen ermittelbar ist, ob eine Abtastung mit einer gemäß dem deterministischen Stützstellenermittlungsmodell ermittelten Anzahl von Stützstellen eine erfolgreiche Rekonstruktion eines beliebigen, aus den Grundsignalen linearkombinierten, abgetasteten Messsignals mit einer maximalen Anzahl S_max von Grundsignalen gewährleistet oder nicht;
d) Wählen oder Schätzen einer benötigten Stützstellenanzahl M,
e) Ermitteln von M Stützstellen anhand des deterministischen Stützstellenermittlungsmodells,
f) Aufstellen einer MxN-Messmatrix A, mittels welcher der Abtastvorgang als ein linearer Vorgang gemäß folgender Gleichung beschrieben wird: $y = Ax + e,$ wobei y ein M-dimensionaler Vektor der an den M ermittelten Stützstellen gemessenen Abtastwerte ist, x ein N-dimensionale Vektor der Koeffizienten, die die Anteile der möglichen Grundsignale bei der Linearkombination zur Rekonstruktion des Messsignals angeben, und e ein M-dimensionale Vektor ist, der eine additive Störung repräsentiert;
g) Auswerten des Ermittlungskriteriums und Feststellen, ob bei der Abtastung mit den ermittelten M Stützstellen das Messsignal, welches aus einer beliebigen Linearkombination von maximal S_max der N möglichen Grundsignale bildbar ist, sich rekonstruieren lässt, jedoch nicht alle Messignale rekonstruieren lassen, die aus einer Linearkombination von mindestens S_max+1 der N möglichen Grundsignale gebildet sind, und
g1) falls dieses nicht der Fall ist, ändern der geschätzten benötigten Anzahl von Stützstellen M und Wiederholen der Verfahrensschritte e) bis g)
g2) und falls dieses der Fall ist,
h) Ausführen von Messungen zum Ermitteln der M Abtastwerte an den M Stützstellen, und
i) Auswerten der den Abtastvorgang beschreibenden linearen Gleichung;
j) Ausgeben von Informationen, die die bei der Auswertung ermittelten für die Rekonstruktion benötigten Grundsignale und Koeffizienten der Linearkombination angeben.

Mit einem vertretbaren Aufwand können so zuverlässig die benötigten Stützstellen ermittelt werden und die physikalisch wichtigen Informationen aus einer Messung abgeleitet werden.
Bei einigen Ausführungsformen können die Schritte d) und e) zusammenfallen, weil nur für bestimmte Kombinationen von N und M Stützstellenverteilungen existieren oder die Konstruktion der Stützstellen die Anzahl M implizit liefert.
Eine Stützstelle ist immer mit einer Zeitangabe korreliert, zu der ein Messwert bezogen auf einen festen Signalzeitpunkt im zu vermessenden Messsignal, beispielsweise bezogen auf einen Signalbeginn, abgetastet wird. Ein Ermitteln der Stützstellen ist somit gleichbedeutend mit dem Ermitteln der Mess- oder Abtastzeitpunkte für eine Abtastung.
Vorzugsweise werden die Stützstellen als Teilmenge M von N möglichen Stützstellen ermittelt, die das abzutastende zeitliche Signal gemäß dem WKS-Abtasttheorem in äquidistante Intervalle zerteilt, die somit auf einem gleichbeabstandeten zeitlichen Raster liegen. Hierdurch wird eine einfache Ermittlung ermöglicht.
Bei einer Ausführungsform wird die Auswertung der linearen Gleichung des Abtastvorgangs mit den ermittelten Abtastwerten gemäß einem als Square-root-LASSO bezeichneten Verfahren ausgeführt, welches beispielsweise von H. B. Petersen und P. Jung in „Robust instance-optimal recovery of sparse signals at unknown noise levels", in Information and Inference: A Journal of the IMA, Volume 11, Ausgabe 3, September 2022, Seiten 845-887, https://doi.org/10.1093/imaiai/iaab015 beschrieben ist.
Eine Abtastung erfolgt bei einer bevorzugten Ausführungsform mittels eines optischen Gatings, bei dem die Stützstellen jeweils einen zeitlichen Abstand zwischen einem optischen Anregungspuls und einem optischen Abtastpuls festlegen. Dieses Verfahren ermöglicht es schnelle und/oder hochfrequente physikalische Vorgänge im Terahertz-Bereich präzise zu vermessen.
Um beispielsweise systematische Fehler, welche von einer zeitlichen Korrelation zwischen dem Anregungspuls und einem oder mehreren Abtastpulsen abhängen, bei der Messung ausschließen zu können, wird bei einer Ausführungsform ein zweiter Satz Stützstellen ermittelt, indem die M ermittelten Stützstellen von N möglichen Stützstellen zyklisch permutiert werden, vorzugsweise um eine mögliche Stützstelle, bevorzugter um eine Anzahl Stützstellen, die einem Zehntel der Differenz N-M der Anzahl der möglichen Stützstellen N und der ermittelten Stützstellen M entspricht. Hierbei wird ausgenutzt, dass jeder Satz an Stützstellen, der eine zyklische Permutation der ursprünglich ermittelten Stützstellen ist, die das Ermittlungskriterium für eine Rekonstruktion erfüllen, auch das Ermittlungskriterium erfüllt. Als zyklische Permutation wird eine Permutation angesehen, bei der die aus zeitlich gleichverteilten möglichen Stützstellen ausgewählten Stützstellen um eine Anzahl Stützstellen „verschoben“ werden. Stützstellen die bei diesem Vorgang aus der Menge der möglichen Stützstellen „herausgeschoben“ werden, werden am anderen Ende der Stützstellen wieder „hereingeschoben“. Nummeriert man die möglichen Stützstellen von 0 bis N-1 und gibt die ermittelten Stützstellen mittels deren Indices an, so ist eine zyklische Permutation mathematisch mit der Addition oder Subtraktion Modulo N einer natürlichen Zahl gleichzusetzen.
Nach einem weiteren Aspekt der Erfindung wird ein Verfahren zum Herstellen eines Spektrometers geschaffen, das an den ermittelten Stützstellen das Messsignal abtastet. Statt der Ausführung der Messung und Auswertung gemäß den Verfahrensschritten h) bis j) des oben angegebenen Messverfahrens werden eine Abtasteinrichtung, eine Auswerteeinrichtung und eine Ausgabeeinrichtung ausgebildet, so dass die Abtasteinrichtung eine Abtastung und Erfassung von Messsignalen zu den ermittelten M Stützstellen bewirkt, sowie die Auswerteeinrichtung ausgebildet ist, dass diese die lineare Gleichung löst, die die Abtastung beschreibt, und die Ausgabeeinrichtung zum Ausgeben von Informationen geschaffen ist, die die bei der Auswertung ermittelten für die Rekonstruktion benötigten Grundsignale und Koeffizienten der Linearkombination angeben.
Ferner wird ein Spektrometer geschaffen, das eine Abtasteinrichtung und Erfassungseinrichtung umfasst, welches eine Abtastung des Messsignals und Erfassung von Messwerten an den M Stützstellen steuert und die Auswerteeinrichtung zum Auswerten der die Abtastung beschreibenden linearen Gleichung sowie Ausgabeeinrichtung zum Ausgeben von Informationen umfasst, die die bei der Auswertung ermittelten für die Rekonstruktion benötigten Grundsignale und Koeffizienten der Linearkombination angeben.
Das Spektrometer kann ausgebildet sein, dass es für einen vorgegeben Satz von M Stützstellen aus einer Grundgesamtheit von N möglichen Stützstellen ausgebildet ist. Dann können die zeitlichen Verzögerungen, die für ein optisches Gating-Messverfahren benötigt werden, beispielsweise auf einer integrierten Halbleiterschaltung über alternativ schaltbare Verzögerungsstrecken realisiert sein.
Bei einer anderen Ausführungsform umfasst das Spektrometer eine Stützstellenermittlungseinheit, die ausgebildet ist, auch die Verfahrensschritte a) bis f) auszuführen. Der Vorteil liegt darin, dass die Gesamtzahl der möglichen Stützstellen oder Anzahl der Grundsignale flexibel an das zu messende Messsignal angepasst werden kann. Ferner kann die maximal zulässige Komponentenanzahl S möglicher Grundsignale, die für eine Rekonstruktion kombiniert werden können, unabhängig angepasst werden.
Ein solches Spektrometer ist daher sehr flexibel einsetzbar.
Das Spektrometer kann die für eine Messung notwendigen Laserpulse selbst erzeugen oder nur Steuerpulse für die zeitliche Steuerung der Laserpulse erzeugen und ausgeben. Ebenso kann das Spektrometer einen Detektor zur Signalerfassung aufweisen oder einen Signaleingang aufweisen, der das Detektorsignal erfasst, welches eine Messsignalstärke zu einem Abtastzeitpunkt repräsentiert.
Bei einer Ausführungsform ist das deterministische Stützstellenauswahlmodell eine Auswahl exponentiell größer werdender Zeitintervalle, wie sie zum Beispiel eine geometrische Progression innerhalb der Indices 1, ..., N liefert. Bei einer Ausführungsform werden die zeitlich-geordneten Stützstellen t_k(k = 1 ... M) so gewählt, dass diese die Eigenschaft erfüllen: ${aA}^{k} \leq t_{k + 1} - t_{k} \leq {bB}^{k}$ wobei a, b, A, B reelle Konstanten sind.
Eine konkrete Bildungsvorschrift kann lauten:

1) definiere ein äquidistantes Raster von Zeitintervall Δt und referenziere die M Stützstellen t_k = Δt · i_k über die Position i_k ∈ {0 ... N - 1} für k = 1... M auf dem Raster.

Hierbei wird $i_{k} = i n t (\frac{b^{k - 1}}{c})$ gesetzt, wobei b und c positive reelle Zahlen sind, so dass b^k-1 ≤ N - 1, und i_k auf die nächstgrößere nicht bereits gewählte ganze Zahl gesetzt wird, falls i_k eine bereits ausgewählte Stützstelle angibt. Eine solche Auswahl beruht für b=2 auf einer als geometrische Progression bekannten Folge.
Als Ermittlungskriterium wird eine Kohärenz von kleiner 1 gefordert. Die Kohärenz wird ermittelt, indem von der Abbildungsmatrix A alle möglichen Spaltenpaare betrachtet werden, wobei die Spaltenvektoren jeweils individuell normiert und anschließend für die normierten Spaltenvektorpaare die Beträge der Skalarprodukte ermittelt werden. Von dieser Menge der Betragswerte wird ein maximaler Wert als Kohärenz der Matrix bezeichnet. Ist die Kohärenz µ kleiner als der Kehrwert des um Eins erhöhten Doppelten der maximal zugelassenen Grundsignale S, d.h. $μ \leq \frac{1}{2 S_{m a x} + 1},$ so ist der ermittelte Satz von M Stützstellen für eine Rekonstruktion geeignet. Solange die Kohärenz somit geringer als eine vorgegebene Schwelle ist, kann ein beliebiges aus maximal S Grundsignalen als Linearkombination bildbares Messignal rekonstruiert werden.
Gemäß einer anderen Ausführungsform sieht das deterministische Stützstellenauswahlmodell vor, dass eine Verteilung der Zeitabstände von jedem Abtastzeitpunkt zu jedem anderen Abtastzeitpunkt einer Gleichverteilung angenähert wird. Wählt man beispielhaft die M Abtastzeitpunkte als eine Teilmenge von auf einem festen äquidistanten Zeitraster angeordneten N möglichen Stützstellen, kann jeder Abtastzeitpunkt oder jede mögliche Stützstelle durch seinen/ihren Index 0...N-1 referenziert werden. Die Verteilung der Differenzen der Indices von zwei verschiedenen Abtastpunkten in einer Arithmetik Modulo N wird in ein N-1 Stellen aufweisendes Histogramm H mit N-1 Histogrammstellen (bins) H[I] mit I=1..N-1 aufgeteilt. Es gibt maximal M(M-1)/2 „Modulo-N“-Differenzen (Arithmetik Modulo N), welche in das Histogramm eingetragen werden. Danach werden leere Histrogrammstellen beseitigt und das Histogramm H normiert, indem der Wert jeder der verbleibenden L Histogrammstellen durch die Summe über alle Histogrammstellenwerte dividiert wird: $H_{1} [l] = \frac{H [l]}{\sum_{k = 1}^{L} H [k]} .$ Das normierte Histogramm wird H1 genannt. Für das normierte Histogramm H1 wird ein Mittelwert $\frac{\sum H 1 [I]}{L}$ und mindestens eine zugehörige Abweichungsmaß ermittelt und für diese ein Schwelle vorgegeben. Als statistische Größen können eine Standardabweichung des Mittelwerts, eine maximale Abweichung vom Mittelwert, eine mittlere Abweichung vom Mittelwert ausgewertet werden.
Es ist jedoch möglich, dass mit der bestimmten Anzahl von Stützstellen M nicht nur Messsignale aus, die sich als Linearkombinationen von maximal S_max der N Grundsignale darstellen lassen, vermessen und rekonstruieren lassen. Vielmehr ist es möglich, dass auch noch Messignale zuverlässig zu rekonstruieren sind, denen eine Linearkombination mit mehr als S_max Grundsignalen zugrunde liegt, die also aus S_max+J Grundsignalen gebildet sind, wobei J eine positive natürliche Zahl ist. Manche Ausführungsformen, insbesondere eine Ausführungsform des Verfahrens zum Herstellen eines Spektrometers, sehen vor, dass zusätzlich ein Gütekriterium ausgewertet wird, ob mit den M Stützstellen, für die das Ermittlungskriterium für S_max erfüllt ist, auch ein J größer gleich null existiert, so dass auch beliebige Messignale, die auf Linearkombinationen von S_min+J Grundsignalen beruhen, zuverlässig rekonstruiert werden können. Hierfür ist vorgesehen eine Gütekriterium auszuwerten.
Eine Ausführungsform eines Gütekriterium ist die Bestimmung der Restricted Isometry Property"-Konstante δ_2S, (RIP-constant), wobei dieses Kriterium für S= S_max+J ausgewertet wird. J wird hierbei vorzugsweise iterativ erhöht bis der Fall eintritt, dass die Schwelle $δ_{2 S} < \frac{1}{\sqrt{2}}$ nicht mehr erfüllt. ist. Das größte J gibt zusammen mit S_max in Summe S= S_max+J an, wie viele Eigenfrequenzen ein Signal aufweisen darf, damit es zuverlässig rekonstruiert wird.
Einige Ausführungsformen sehen daher vor, dass zusätzlich ein Gütekriterium ausgewertet wird, um zu prüfen ob mit der ermittelten Anzahl M an Stützstellen auch Messignale zuverlässig rekonstruierbar sind, die aus einer erweiterten Anzahl von S_erw=Smax+J, mit einer positiven natürlichen Zahl J, der N Grundsignale als Linearkombination bildbar sind.
Bei einigen Ausführungsformen ist vorgesehen, dass die maximale erweiterte Anzahl S_erw ^max ermittelt wird, indem die maximal erweiterte Anzahl S_erw bestimmt wird, für die das Gütekriterium noch erfüllt ist.
Nachfolgen wird die Erfindung anhand einer Zeichnung näher erläutert hierbei zeigen:

1 eine schematische Darstellung eines Flussdiagramms zum Erläutern der Ausführung einer Zeitbereichsspektroskopie;
2 ein Signal einer kohärenten Phononenspektroskopie, indem das nach dem WKS-Abtasttheorem gemessene Signal, eine Apodisation der gemessenen 330 Stützpunkte und ein rekonstruiertes Signal gemeinsam mit den 85 Stützstellen gemäß dem hier beschrieben Verfahren dargestellt sind;
3 die Fouriertransformationen des nach dem WKS-Abtasttheorem abgetasteten Signals, das nach dem Abschneiden der ersten 400 fs und der Apodisation transformiert ist, sowie das Fourierspektrum des gemäß dem hier vorgeschlagenen Verfahren rekonstruierten Signals; und
4 eine schematische Darstellung eines Spektrometers.

In 1 ist schematisch das Flussdiagramm eines Verfahrens 100 zur Zeitbereichsspektroskopie dargestellt. In einem ersten Schritt 110 wird eine Anzahl N der möglichen Grundsignale erfasst, anhand derer ein zu vermessendes Signal approximiert werden soll.
Anschließend wird eine Anzahl der maximalen Komponentenanzahl S erfasst 120, die eine maximale Anzahl der für eine Rekonstruktion in einer Linearkombination kombinierbaren Grundsignale festlegt.
Es wird dann ein deterministisches Stützstellenermittlungsmodell erfasst 130, anhand dessen sich deterministisch eine Anzahl von Stützstellen aus einer Grundmenge von Stützstellen (deren Mächtigkeit größer oder gleich N ist) ermitteln lässt.
Zusätzlich wird ein Ermittlungskriterium erfasst 140, anhand dessen ermittelbar ist, ob eine Abtastung mit einer gemäß dem deterministischen Stützstellenermittlungsmodell ermittelten Anzahl von Stützstellen eine erfolgreiche Rekonstruktion eines abgetasteten Messsignals gewährleistet oder nicht.
Dann wird eine erste Schätzung der benötigten Anzahl M der Stützstellen für die Abtastung ausgeführt oder erfasst 150. Dieser geschätzte Wert ist vorzugsweise niedrig gewählt und entspricht beispielsweise etwa einem Fünftel bis einem Viertel der Anzahl der möglichen Grundsignale N.
Es wird dann eine Menge von M Stützstellen gemäß dem erfassten deterministischen Stützstellenermittlungsmodell ermittelt 160. Beispielsweise werden die Stützstellen gemäß einer geometrischen Progression festgelegt.
Anschließend wird die mit den Stützstellen korrespondierende Messmatrix erzeugt 170.
Es wird geprüft 180, ob die Messmatrix dem Ermittlungskriterium für eine Rekonstruktion genügt.
Ein einem Fall werden hierfür die Spalten der Matrix als Vektoren aufgefasst und jeweils normiert. Für die normierten Spaltenvektoren werden die Beträge der paarweise bildbaren Skalarprodukte ermittelt und der maximale Betrag dieser Menge ermittelt. Dieser gibt die sogenannte Kohärenz an. Ist diese deutlich kleiner 1, beispielsweise kleiner als 1/10, so wird eine Abtastung mit den ermittelten Stützstellen eine Rekonstruktion des Signals zuverlässig ermöglichen.
Ist das Ermittlungskriterium nicht erfüllt, werden die Schritte ab dem Auswählen oder Schätzen der benötigten Anzahl M von Stützstellen 150 wiederholt, wobei die Anzahl M variiert wird.
Ist das Ermittlungskriterium erfüllt, werden anschließend die eigentlichen Messungen ausgeführt und an den M Abtastzeitpunkten das Messsignal abgetastet 190.
Mit dem so erhaltenen Vektor y von M Abtastwerten wird das lineare Gleichungssystem y=Ax +e gelöst 200. Eine mögliche Rekonstruktion des Spektrums im Frequenzbereich (der N-dimensionale Vektor x) soll für diesen Fall beispielhaft angegeben werden. Das Spektrum kann z.B. in diesem Fall durch folgendes konvexe Programm (auch als „square-root LASSO“ bekannt) bestimmt werden, das von Hendrik Bernd Petersen und Peter Jung in „Robust instance-optimal recovery of sparse signals at unknown noise levels", Information and Inference: A Journal of the IMA, Volume 11, Ausgabe 3, September 2022, Seiten 845-887, https://doi.org/10.1093/imaiai/iaab015 beschrieben ist: $m i n_{x} {‖ A x - y ‖}_{2} + λ {‖ x ‖}_{1} d,$ wobei der M-dimensionale Vektor y die gemessenen Abtastwerte im Zeitbereich enthält. Hierbei bezeichnet ||x||₁ die Summe der absoluten Beträge der Komponenten des Vektors x und ||Ax - y||₂ ist die euklidische Norm des Residuals Ax-y. Der Regularisierungsparameter λ kann in diesem Fall in Abhängigkeit der Dimensionen M und N gewählt werden. Dieser Ansatz ist auch mit anderen Quasi-Normen möglich.
Die MxN-dimensionale Matrix A kann in den N Spalten N mögliche abgetastete Resonanzen enthalten. Der obige Rekonstruktionsansatz wählt dann als Lösung eine schwach-besetzte („sparse“ bzw. „compressible“) Linearkombination der zur Verfügung stehenden möglichen abgetasteten Resonanzen aus (d.h. nur wenige Spalten tragen signifikant bei um y zu approximieren). Diese Informationen werden dann ausgegeben 210.
Bei einer Weiterbildung kann ein Gütekriterium, gegebenenfalls auch iterativ ausgewertet werden, um eine erweiterte Anzahl an Grundsignalen zu ermitteln, aus denen Messsignale als Linearkombination gebildet sein dürfen, damit sie zuverlässig mit dieser erweiterten Anzahl von Grundsignalen rekonstruiert werden können. Die Bestimmung der sogenannten „Restricted Isometry Property“-Konstante δ_2S, (RIP-constant) stellt ein solches Kriterium dar.
Im Folgenden wird im Zusammenhang mit 2 und 3 ein konkretes Anwendungsbeispiel beschrieben. Das Anwendungsbeispiel ist kohärente Phononenspektroskopie (englisch: Coherent Phonon Spectroscopy - CPS) zur Bestimmung der raman-aktiven Eigenfrequenzen von Festkörpern. In 2 ist die Zeitbereichsmessung der Transmissionsänderung eines nahinfrarot Abfragelaserpulses in zeitlichem Abstand zu einem nahinfrarot Anregelaserpuls (Pulsdauer jeweils 20 fs, Pulsenergie Abfragelaserpuls: 500 pJ, Pulsenergie Anregelaserpuls: 1.5 nJ) gezeigt. Der Bereich zwischen 0 - ~0.4 ps wird für die Analyse ausgespart, um den Bereich des sogenannten kohärenten Artefakts zu vermeiden.
Als graue Linie 410 (grau) ist eine Transmissionsänderung von Quarz in der Zeitdomäne mit einem nah-infrarot Kurzpulslaser nach Anregung mit einem Pumplaserpuls vom gleichen Laser dargestellt. Der Zeitbereich wird durch Messung von insgesamt 356 Messpunkten abgetastet. Die Anzahl der Messpunkte ergibt sich hier aus dem gewünschten Spektralbereich (30 THz) und der gewünschten Auflösung (200 GHz) nach dem WKS-Abtasttheorem. Für die Bestimmung der Eigenfrequenzen nach dem Stand der Technik werden die ersten 400 fs des Signals abgeschnitten. Die Messung wird anschließend einer Hamming-Apodisation unterzogen, um Artefakte durch Unstetigkeiten in der Fouriertransformation zu minimieren. Es werden 330 der ursprünglich 356 Messpunkte als Stützstellen für die weitere Auswertung verwendet. Das apodisierte Signal ist als schwarze Linie 420 dargestellt, die Stützstellen als schwarze Dreiecke 440.
Mittels grauen Kugeln 450 sind die gemäß dem hier beschriebenen Verfahren 85 ermittelten Stützstellen dargestellt. Diese 85 Stützstellen entsprechen der reduzierten Anzahl notwendiger Stützstellen. Es ergibt sich dann eine rekonstruierte Zeittransiente, die als gestrichelte graue Linie 430 dargestellt ist, die mit der ursprünglichen Messung sehr gut übereinstimmt.
Die Fouriertransformation ergibt dann die Spektren der Eigenfrequenzen, die in 3 dargestellt sind. Das mit den nach WKS-Theorem abgetasteten apodisierten Signal korrespondierende Eigenfrequenzspektrum 510 ist als graue Linie, das mit den nach dem hier beschriebenen Verfahren ermittelten Stützstellen korrespondierende Signal ist als graue gestrichelte Linie 520 dargestellt. Es ist eine sehr gute Übereinstimmung zu beobachten. Die enthaltenden Eigenfrequenzen und Linienformen werden nach dem hier beschriebenen Verfahren korrekt reproduziert.
Mit dem dCSTD - Verfahren ist eine Rekonstruktion mit nur 85, „determinierten“, d.h. vorher festgelegten, Stützstellen vorgenommen. Die gute Übereinstimmung der mit dieser deutlich geringeren Anzahl von Stützstellen rekonstruierten Zeittransiente mit der Originalmessung zeigt die gute Leistungsfähigkeit des vorgeschlagenen Verfahrens. Dieses wird durch die sehr gute Übereinstimmung der Spektralfunktion in der Frequenzdomäne bestätigt.
In 4. ist schematisch ein Spektrometer 500 dargestellt. Dieses umfasst eine Abtasteinrichtung 600, welche eine Abtastung eines Messsignals an deterministisch ermittelten Stützstellen steuert oder ausführt. Hierzu umfasst die Abtasteinrichtung neben einer Steuereinrichtung 602 beispielsweise einen Kurzpulslaser 604 um ein optisches Gating auszuführen. Um die unterschiedlichen irregulär über den vermessenen Zeittransienten verteilten Stützstellen zu erfassen, sind bei einer Ausführungsform M Verzögerungsstrecken 610-1 - 610-M, beispielsweise in einer integrierten Halbleiterschaltung 620 als Verzögerungsleitungen ausgebildet, die ein optisches oder elektronisches Steuerungssignal entsprechend der Zeitdauern verzögern, die mit den Abtastzeitpunkten korreliert sind.
Eine Auswerteschaltung 700 ist ausgebildet, die lineare Gleichung zu lösen, die das Messverfahren beschreibt.
Eine Ausgabeeinrichtung 800, die eine Anzeige umfassen kann oder als Schnittstelle ausgebildet sein kann, ist ausgebildet, Informationen auszugeben, die die Grundsignale und deren Koeffizienten angeben, anhand derer sich das abgetastete Signal als Linearkombination weniger periodische, gegebenenfalls gedämpfter Grundsignale rekonstruieren lässt.
Bei einer Ausführungsform umfasst das Spektrometer zusätzlich eine Stützstellenermittlungseinheit 900, die ausgebildet ist, die benötigten Stützstellen für eine Abtastung nach dem oben angegeben Verfahren zu ermitteln.

Claims

Verfahren (100) zur Zeitbereichsspektroskopie mit reduzierter Stützstellenerfassung umfassend die folgenden Schritte: a) Erfassen einer Anzahl N möglicher Grundsignale (110), anhand derer ein zu vermessendes Zeitsignal als Linearkombination rekonstruiert werden soll; b) Erfassen einer maximalen Komponentenanzahl S_max (120), die eine maximale Anzahl der für eine Rekonstruktion in der Linearkombination kombinierbaren Grundsignale festlegt; c1) Erfassen eines deterministischen Stützstellenermittlungsmodells (130), anhand dessen sich deterministisch eine Anzahl von Stützstellen aus einer Grundmenge von Stützstellen, deren Mächtigkeit vorzugsweise größer oder gleich N ist, ermitteln lässt, und c2) eines Ermittlungskriteriums (140), anhand dessen ermittelbar ist, ob eine Abtastung mit einer gemäß dem deterministischen Stützstellenermittlungsmodell ermittelten Anzahl von Stützstellen eine erfolgreiche Rekonstruktion eines abgetasteten Messsignals mit einer maximalen Anzahl S_max von Grundsignalen gewährleistet oder nicht; d) Wählen oder Schätzen einer benötigten Stützstellenanzahl M (150); e) Ermitteln von M Stützstellen anhand des deterministischen Stützstellenermittlungsmodells (160); f) Aufstellen einer MxN-Messmatrix A (170), mittels welcher der Abtastvorgang als ein linearer Vorgang gemäß folgender linearer Gleichung beschrieben wird: $y = Ax + e,$ wobei y ein M-dimensionaler Vektor der an den M ermittelten Stützstellen gemessenen Abtastwerte ist, x ein N-dimensionaler Vektor der Koeffizienten, die die Anteile der möglichen Grundsignale bei der Linearkombination zur Rekonstruktion des Messsignals angeben, und e ein M-dimensionaler Vektor ist, der eine additive Störung repräsentiert; g) Auswerten des Ermittlungskriteriums und feststellen (180), ob bei der Abtastung mit den ermittelten M Stützstellen das Messsignal, welches aus einer beliebigen Linearkombination von maximal S_max der N möglichen Grundsignale bildbar ist, sich rekonstruieren lässt, jedoch nicht alle Messignale rekonstruiere lassen, die aus einer Linearkombination vom mindestens S_max+1 der N möglichen Grundsignale gebildet sind, und g1) falls dieses nicht der Fall ist, ändern der der Anzahl der geschätzten benötigten Anzahl von Stützstellen M und Wiederholen der Verfahrensschritte e) bis g) g2) und falls dieses der Fall ist, h) Ausführen von Messungen zum Ermitteln der M Abtastwerte an den M Stützstellen (190), und i) Auswerten der den Abtastvorgang beschreibenden linearen Gleichung (200); j) Ausgeben von Informationen (210), die die bei der Auswertung ermittelten für die Rekonstruktion benötigten Grundsignale und Koeffizienten der Linearkombination angeben.
Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, dass die Stützstellen als Teilmenge M von N möglichen Stützstellen ermittelt werden, die das abzutastende zeitliche Signal gemäß dem WKS-Abtasttheorem in äquidistante Intervalle zerteilen.
Verfahren nach Anspruch 1 oder 2, dadurch gekennzeichnet, dass die Auswertung der linearen Gleichung des Abtastvorgangs mit den ermittelten Abtastwerten gemäß einem als Square-root-LASSO bezeichneten Verfahren ausgeführt wird.
Verfahren nach einem der vorangehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass eine Abtastung mittels eines optischen Gatings erfolgt, bei dem die Stützstellen jeweils einen zeitlichen Abstand zwischen einem optischen Anregungspuls und einem optischen Abtastpuls festlegen.
Verfahren nach einem der Ansprüche 2 bis 4, dadurch gekennzeichnet, dass ein zweiter Satz Stützstellen ermittelt wird, indem die M ermittelten Stützstellen von N möglichen Stützstellen zyklisch permutiert werden, vorzugsweise um 1 mögliche Stützstelle, bevorzugter um ein Zentel der Differenz N-M der Anzahl der möglichen Stützstellen N und der ermittelten Stützstellen M und die Schritte h) bis j) zusätzlich für den zweiten Satz von Stützstellen ausgeführt wird.
Verfahren zum Herstellen eines Spektrometers für eine Zeitbereichsspektroskopie mit reduzierter Stützstellenerfassung umfassend die folgenden Schritte: a) Erfassen einer Anzahl N möglicher Grundsignale, anhand derer ein zu vermessendes Zeitsignal als Linearkombination rekonstruiert werden soll; b) Erfassen einer oberen Abschätzung einer maximalen Komponentenanzahl S, die eine maximale Anzahl der für eine Rekonstruktion in der Linearkombination kombinierbaren Grundsignale festlegt; c1) Erfassen eines deterministischen Stützstellenermittlungsmodells, anhand dessen sich deterministisch eine Anzahl von Stützstellen aus einer Grundmenge von Stützstellen, deren Mächtigkeit vorzugsweise größer oder gleich N ist, ermitteln lässt, und c2) Erfassen eines Ermittlungskriteriums, anhand dessen ermittelbar ist, ob eine Abtastung mit einer gemäß dem deterministischen Stützstellenermittlungsmodell ermittelten Anzahl von Stützstellen eine erfolgreiche Rekonstruktion eines abgetasteten Messsignals mit einer maximalen Anzahl S_max von Grundsignalen gewährleistet ist oder nicht; d) Schätzen einer benötigten Stützstellenanzahl M, e) Ermitteln von M Stützstellen anhand des deterministischen Stützstellenermittlungsmodells, f) Aufstellen einer MxN-Messmatrix A, mittels welcher der Abtastvorgang als ein linearer Vorgang gemäß folgender linearer Gleichung beschrieben wird: $y = Ax + e,$ wobei y ein M-dimensionaler Vektor der an den M ermittelten Stützstellen gemessenen Abtastwerte ist, x ein N-dimensionaler Vektor der Koeffizienten, die die Anteile der möglichen Grundsignale bei der Linearkombination zur Rekonstruktion des Messsignals angeben und e ein M-dimensionaler Vektor ist, der eine additive Störung repräsentiert; g) Auswerten des Ermittlungskriteriums und feststellen, ob bei der Abtastung mit den ermittelten M Stützstellen das Messsignal, welches aus einer beliebigen Linearkombination von maximal S_max der N möglichen Grundsignale bildbar ist, sich rekonstruieren lässt, jedoch nicht alle Messignale rekonstruieren lassen, die aus einer Linearkombination von mindestens S_max+1 der N möglichen Grundsignale gebildet sind, und g1) falls dieses nicht der Fall ist, ändern der der Anzahl der geschätzten benötigten Anzahl von Stützstellen M und Wiederholen der Verfahrensschritte e) bis g) g2) und falls dieses der Fall ist, k) Ausbilden einer Abtasteinrichtung, die ausgebildet ist, eine Messsignalerfassung zu den ermittelten M Stützstellen zu steuern, I) Ausbilden einer Auswerteeinrichtung, die ausgebildet ist, anhand eines aus den für die ermittelten M Stützstellen abgetasteten Messergebnissen gebildeten Vektors y eine die Messsignalabtastung beschreibende lineare Gleichung y =Ax+e zu lösen; m) Ausbilden einer Ausgabeeinrichtung zum Ausgeben von Informationen, die die bei der Auswertung ermittelten für die Rekonstruktion benötigten Grundsignale und Koeffizienten der Linearkombination angeben.
Spektrometer (500) für eine Zeitbereichsspektroskopie mit reduzierter Stützstellenerfassung hergestellt nach einem Verfahren gemäß Anspruch 6, umfassend die Abtasteinrichtung (600) und eine Erfassungseinrichtung (602) zur Steuerung eines Abtastens von Messsignalen an den ermittelten M Stützstellen und die Auswerteeinrichtung (700) zum Auswerten der die Abtastung beschreibenden linearen Gleichung sowie die Ausgabeeinrichtung (800) zum Ausgeben von Informationen, die die bei der Auswertung ermittelten für die Rekonstruktion benötigten Grundsignale und Koeffizienten der Linearkombination angeben.
Spektrometer nach Anspruch 7, dadurch gekennzeichnet, dass mit der Abtasteinrichtung (600) eine Stützstellenermittlungseinheit (900) verknüpft ist, die ausgebildet ist, die Verfahrensschritte a) bis f) nach Anspruch 6 auszuführen.
Spektrometer nach einem der Ansprüche 7 oder 8, dadurch gekennzeichnet, dass in der Abtasteinrichtung M Verzögerungsleitungen (610-1 bis 610-M) ausgebildet sind, deren unterschiedlichen bewirkten zeitlichen Verzögerungen mit den ermittelten Stützstellen assoziierten Messzeitpunkten korrelieren.
Spektrometer nach einem der Ansprüche 7 bis 9, dadurch gekennzeichnet, dass die Abtasteinrichtung mindestens einen Laser (604) zum Erzeugen der Lichtpulse für ein optisches Gating umfasst.
Verfahren oder Spektrometer nach einem der vorangehenden Ansprüche dadurch gekennzeichnet, dass zusätzlich ein Gütekriterium ausgewertet wird, um zu prüfen ob mit der ermittelten Anzahl M an Stützstellen auch Messsignale zuverlässig rekonstruierbar sind, die aus einer erweiterten Anzahl von S_erw=S_max+J, mit einer positiven natürlichen Zahl J, der N Grundsignale als Linearkombination bildbar sind.
Verfahren oder Spektrometer nach Anspruch 11, dadurch gekennzeichnet, dass die maximale erweiterte Anzahl S_erw ^max ermittelt wird, indem die maximal erweiterte Anzahl S_erw bestimmt wird, für die das Gütekriterium noch erfüllt ist.