Spisak vektorskih identiteta

Ovaj članak je spisak nekoliko korisnih matematičkih identiteta koji se koriste u vektorskoj algebri.

Trostruki proizvodi

• ${\vec {A}}\times ({\vec {B}}\times {\vec {C}})=({\vec {C}}\times {\vec {B}})\times {\vec {A}}={\vec {B}}({\vec {A}}\cdot {\vec {C}})-{\vec {C}}({\vec {A}}\cdot {\vec {B}})$
• ${\vec {A}}\cdot ({\vec {B}}\times {\vec {C}})={\vec {B}}\cdot ({\vec {C}}\times {\vec {A}})={\vec {C}}\cdot ({\vec {A}}\times {\vec {B}})$

koje se mogu dokazati dajući proizvoljne komponente $A,$ $B,$ and $C,$

${\vec {A}}=(a_{x},a_{y},a_{z})$

${\vec {B}}=(b_{x},b_{y},b_{z})$

${\vec {C}}=(c_{x},c_{y},c_{z})$

te računajući vrijednosti svakog iskaza, kao što je ${\vec {B}}\times {\vec {C}}$, će pokazati da su obe strane jednačine jednake.

Ostali proizvodi

• $({\vec {A}}\times {\vec {B}})\cdot ({\vec {A}}\times {\vec {B}})=A^{2}B^{2}-({\vec {A}}\cdot {\vec {B}})^{2}={\vec {B}}\cdot {\vec {A}}\times ({\vec {B}}\times {\vec {A}})$ (napomena: Ovo je drugi oblik Lagrangeove formule).

Pravila proizvoda

• ${\vec {\nabla }}(fg)=f({\vec {\nabla }}g)+g({\vec {\nabla }}f)$
• ${\vec {\nabla }}({\vec {A}}\cdot {\vec {B}})={\vec {A}}\times ({\vec {\nabla }}\times {\vec {B}})+{\vec {B}}\times ({\vec {\nabla }}\times {\vec {A}})+({\vec {A}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {B}}+({\vec {B}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {A}}$
• ${\vec {\nabla }}\cdot (f{\vec {A}})=f({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}})+{\vec {A}}\cdot ({\vec {\nabla }}f)$
• ${\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {A}}\times {\vec {B}})={\vec {B}}\cdot ({\vec {\nabla }}\times {\vec {A}})-{\vec {A}}\cdot ({\vec {\nabla }}\times {\vec {B}})$
• $\nabla \times ({\vec {A}}\times {\vec {B}})=({\vec {B}}\cdot \nabla ){\vec {A}}-({\vec {A}}\cdot \nabla ){\vec {B}}+{\vec {A}}(\nabla \cdot {\vec {B}})-{\vec {B}}(\nabla \cdot {\vec {A}})$
• $\nabla \times ({\vec {A}}\times {\vec {B}})={\vec {A}}\times (\nabla \times {\vec {B}})-{\vec {B}}\times (\nabla \times {\vec {A}})-({\vec {A}}\times \nabla )\times {\vec {B}}+({\vec {B}}\times \nabla )\times {\vec {A}}$
• $\nabla \times (f{\vec {A}})=f(\nabla \times {\vec {A}})+(\nabla f)\times {\vec {A}}$

Greenov prvi identitet

• ${\vec {\nabla }}\cdot \left(f{\vec {\nabla }}f\right)=f{\vec {\nabla }}\cdot \left({\vec {\nabla }}f\right)+\left({\vec {\nabla }}f\cdot {\vec {\nabla }}f\right)=f\nabla ^{2}f+\left({\vec {\nabla }}f\cdot {\vec {\nabla }}f\right)$
  therefore
  $f\nabla ^{2}f={\vec {\nabla }}\cdot \left(f{\vec {\nabla }}f\right)-\left({\vec {\nabla }}f\cdot {\vec {\nabla }}f\right)$

Fundametnalni teoremi

Teorem divergencije

• $\int _{V}({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}})\,dv=\oint _{S}{\vec {A}}\cdot d{\vec {a}}$

Stokesov teorem

• $\int _{S}(\nabla \times {\vec {A}})\cdot d{\vec {a}}=\oint _{C}{\vec {A}}\cdot d{\vec {l}}$

Također pogledajte

• Spisak matematičkih identiteta
• Identiteti vektorskog kalkulusa